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傅里葉紅外變換通俗易懂的理答

點擊次數(shù):2156 發(fā)布時間:2021-05-12

   關(guān)于傅立葉變換,無論是書本還是在網(wǎng)上可以很容易找到關(guān)于傅立葉變換的描述,但是大都是些故弄玄虛的文章,太過抽象,盡是一些讓人看了就望而生畏的公式的羅列,讓人很難能夠從感性上得到理解。

   那么,到底什么是傅里葉變換算法列?傅里葉變換所涉及到的公式具體有多復(fù)雜列?
傅里葉變換(Fourier transform)是一種線性的積分變換。因其基本思想首先由法國學(xué)者傅里葉系統(tǒng)地提出,所以以其名字來命名以示紀(jì)念。
 

 

   傅里葉變換原來就是一種變換而已,只是這種變換是從時間轉(zhuǎn)換為頻率的變化。這下,你就知道了,傅里葉就是一種變換,一種什么變換列?就是一種從時間到頻率的變化或其相互轉(zhuǎn)化。

   ok,咱們再來總體了解下傅里葉變換,讓各位對其有個總體大概的印象,也順便看看傅里葉變換所涉及到的公式,究竟有多復(fù)雜:

   首先知識點先排除,什么是正余弦波,首先,直角三角形中,∠C=90°;任意一銳角∠A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦,也就是sinA=a/c。∠A的余弦是它的鄰邊比三角形的斜邊,所以co sA=b/c。

   其中  K(t,u) 就是積分變換的核 (kernel)。這個積分變換的“物理含義”就是, f(t) 在核函數(shù)的復(fù)共軛這一組正交基上的展開系數(shù)。為什么呢?如果大家學(xué)過一點線性代數(shù),就可以發(fā)現(xiàn)積分變換具有內(nèi)積的形式。將 u' 看作參數(shù),如果  K(u',t) 和  K(u,t) 正交,則積分變換無非是給出了向量 \vec 在基函數(shù)  K^*(t,u)  上投影 / 分量的通式。要注意的是,這里的基函數(shù)不是  K(t,u) 而是  K^*(t,u) 。這是因為,內(nèi)積的結(jié)果是一個“數(shù)”而不是向量,所以作為向量的兩個被乘函數(shù)必須有一個要被取復(fù)共軛(相當(dāng)于轉(zhuǎn)置)。以上推理從內(nèi)積的狄拉克括號表示的角度看很容易理解: (Tf)(u) = \langle K^*|f \rangle  ——左矢括號 \langle | 自帶轉(zhuǎn)置效果,要符合原定義則 bra 內(nèi)必須是 K^* 。

   在以上的討論中我提到了向量 \vec ,那它與函數(shù) f(t) 又是什么關(guān)系呢?不妨想象一下普通空間的三維矢量 \vec\equiv(a,b,c) ,其中的 a,b,c 也無非是向量 \vec 在  \vec,\vec,\vec 基矢上的展開系數(shù)。也就是說,我們可以通過寫出一個矢量在所有基矢量方向的展開系數(shù)以及所有基矢量的方式*確定一個向量。如果把任何一個函數(shù)的自變量的任意一個(或者一組,對于多元函數(shù)來說)可能的取值看作一個基矢,函數(shù)值看作展開系數(shù),那么,任何函數(shù)都可以看作是一個向量的一個具體表示。當(dāng)然了,如果仔細(xì)推導(dǎo)一下,函數(shù) f(x) 的一組正交基實際上是 \delta(x) (狄拉克 \delta  函數(shù))。
 

 

   傅里葉分析不僅僅是一個數(shù)學(xué)工具,更是一種可以*顛覆一個人以前世界觀的思維模式。但不幸的是,傅里葉分析的公式看起來太復(fù)雜了,所以很多大一新生上來就懵圈并從此對它深惡痛絕。老實說,這么有意思的東西居然成了大學(xué)里的殺手課程,不得不歸咎于編教材的人實在是太嚴(yán)肅了。(您把教材寫得好玩一點會死嗎?會死嗎?)所以我一直想寫一個有意思的文章來解釋傅里葉分析,有可能的話高中生都能看懂的那種。所以,不管讀到這里的您從事何種工作,我您都能看懂,并且一定將體會到通過傅里葉分析看到世界另一個樣子時的快感。至于對于已經(jīng)有一定基礎(chǔ)的朋友,也希望不要看到會的地方就急忙往后翻,仔細(xì)讀一定會有新的發(fā)現(xiàn)。

 


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